Потенциальная энергия в поле тяжести

Как относиться к тому, что в демонстрационный вариант ЕГЭ включается вопрос на знание того, чего нет в кодификаторе ЕГЭ по физике и в школьной программе? Честно говоря - не знаю. Давайте, на всякий случай, разберем этот и похожие вопросы.

1 Примеры вопросов

Итак, вопрос (он пока в старом формате, что неудивительно - он из года 2014).

За­да­ние 3 № 5603. Ис­кус­ствен­ный спут­ник об­ра­ща­ет­ся во­круг Земли по вы­тя­ну­той эл­лип­ти­че­ской ор­би­те. Вы­бе­ри­те вер­ное утвер­жде­ние о по­тен­ци­аль­ной энер­гии и пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии спут­ни­ка.

1) По­тен­ци­аль­ная и пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка до­сти­га­ют мак­си­маль­ных зна­че­ний в точке мак­си­маль­но­го уда­ле­ния от Земли.

2) По­тен­ци­аль­ная и пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка до­сти­га­ют мак­си­маль­ных зна­че­ний в точке ми­ни­маль­но­го уда­ле­ния от Земли.

3) По­тен­ци­аль­ная энер­гия до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния в точке мак­си­маль­но­го уда­ле­ния от Земли, пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка не­из­мен­на.

4) По­тен­ци­аль­ная энер­гия до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния в точке ми­ни­маль­но­го уда­ле­ния от Земли, пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка не­из­мен­на.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по физике.
Аналогичная задача: За­да­ние 3 № 5498.

Источник: ЕГЭ по физике 06.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 6.
 
А вот еще один.
 
За­да­ние 3 № 4081. Ис­кус­ствен­ный спут­ник ле­та­ет во­круг Земли по кру­го­вой ор­би­те. Если на очень боль­шом рас­сто­я­нии от Земли по­тен­ци­аль­ная энер­гия спут­ни­ка равна нулю, то пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия этого спут­ни­ка на дан­ной ор­би­те

1) по­ло­жи­тель­на

2) от­ри­ца­тель­на

3) равна нулю

4) может быть любой — в за­ви­си­мо­сти от ско­ро­сти спут­ни­ка

Источник: МИОО: Ди­а­гно­стич­ская работа по фи­зи­ке 17.12.2012 ва­ри­ант 1.

 

2 Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей

 

Запомним следующую формулу, выражающую потенцияльную энергию взаимодействия массы $m$ с Землей. Массу Земли обозначим $M_{з}$.

  $$E_{пот} = - G \frac {m M_{з}} {R} \ \ \ \ \ \ (1) $$

Здесь $G$ - гравитационная постоянная, $R$ - расстояние от центра Земли до центра масс тела массы $m$. Обратим внимание на знак минус перед потенциальной энергией, он очень важен. Потенциальная энергия в поле тяжести всегда отрицательна*.

3 Соотношение между потенциальной и кинетической энергией

  Получим теперь соотношение между кинетической и потенциальной энергией спутника, движущегося по круговой орбите радиуса $R$  вокруг Земли.

 Центростремительное ускорение спутника вызывается силой тяжести, что позволяет нам записать второй закон Ньютона в следующем виде:

$$ {v^2} {R} = G \frac {m M_{з}} {R^2} \ \ \ \ \ \ (2) $$

 

Здесь  $v$ - скорость движения спутника по орбите.

Разделив обе части предыдущего равентства на $m$  и умножив на $R$, получим выражение квадрата скорости через массу Земли и радиус траектории:

$$  v^2= G \frac {M_{з}} {R} \ \ \ \ \ \ (3) $$

Из этого выражения лекго получить кинетическую энергию спутника, умножив его на  $m$ и разделив на 2:

$$ E_{кин} = m \frac {v^2} {2} = G \frac {m M_{з}} {2R} \ \ \ \ \ \ (4) $$

 Сравнивая это выражение с выражением для потенциальной энергии спутника, получаем:

$$ E_{кин} = - \frac {1} {2} E_{пот} $$

 

4 Полная энергия

 Полная энергия есть сумма потенциальной и инетической энергий. Используя полученные выше выражения, с учетом соотношения между ними получаем:

$$ E_{полная} = E_{кин} + E_{пот}= - \frac {1} {2} E_{пот} + E_{пот} = \frac {1} {2} E_{пот} = - G \frac {m M_{з}} {2R} \ \ \ \ \ \ (5) $$

Или, выражая полную энергию через кинетическую:

$$ E_{полная} = - E_{кин} = - G \frac {m M_{з}} {2R} \ \ \ \ \ \ (6) $$

 Из этих формул мы видим, что полная энергия, как и потенциальная*, всегда отрицательна.

 

5 Решения задач из 1

5.1 Ответ на вопрос 5603.

Поскольку, как мы видим из (1), потенциальная энергия всегда отрицательна, на больших расстояниях она достигает максимального значения - минимального по модулю, но максимального с учетом ее отрицательности. При этом полная энергия сохраняется, значит, кинетическая энергия минимальна в точке максимального удаления от Земли. То есть, ответ 3

5.2 В аналогичной задаче 5498 условие сформулировано так же, а вопросы звучат следующим образом:

1) Ки­не­ти­че­ская энер­гия до­сти­га­ет ми­ни­маль­но­го зна­че­ния в точке ми­ни­маль­но­го уда­ле­ния от Земли, пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка не­из­мен­на.

2) Ки­не­ти­че­ская энер­гия до­сти­га­ет ми­ни­маль­но­го зна­че­ния в точке мак­си­маль­но­го уда­ле­ния от Земли, пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка не­из­мен­на.

3) Ки­не­ти­че­ская и пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка до­сти­га­ют ми­ни­маль­ных зна­че­ний в точке ми­ни­маль­но­го уда­ле­ния от Земли.

4) Ки­не­ти­че­ская и пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия спут­ни­ка до­сти­га­ют ми­ни­маль­ных зна­че­ний в точке мак­си­маль­но­го уда­ле­ния от Земли.

 Рассуждения те же, правильный ответ 2

5.3 Ответ на вопрос 4081

Выражение (5) показывает, что полная энергия спутника всегда отрицательна, то есть правильный ответ - 2

 


*Формула (1) получается в случае выбора начала отсчета потенциальной энергии на бесконечности. Действительно, именно на бесконечности потенциальная энергия равна нулю.