Потенциальная энергия в поле тяжести
Как относиться к тому, что в демонстрационный вариант ЕГЭ включается вопрос на знание того, чего нет в кодификаторе ЕГЭ по физике и в школьной программе? Честно говоря - не знаю. Давайте, на всякий случай, разберем этот и похожие вопросы.
1 Примеры вопросов
Итак, вопрос (он пока в старом формате, что неудивительно - он из года 2014).
Задание 3 № 5603. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по вытянутой эллиптической орбите. Выберите верное утверждение о потенциальной энергии и полной механической энергии спутника.
1) Потенциальная и полная механическая энергия спутника достигают максимальных значений в точке максимального удаления от Земли.
2) Потенциальная и полная механическая энергия спутника достигают максимальных значений в точке минимального удаления от Земли.
3) Потенциальная энергия достигает максимального значения в точке максимального удаления от Земли, полная механическая энергия спутника неизменна.
4) Потенциальная энергия достигает максимального значения в точке минимального удаления от Земли, полная механическая энергия спутника неизменна.
Источник: ЕГЭ по физике 06.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 6.
1) положительна
2) отрицательна
3) равна нулю
4) может быть любой — в зависимости от скорости спутника
2 Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей
Запомним следующую формулу, выражающую потенцияльную энергию взаимодействия массы $m$ с Землей. Массу Земли обозначим $M_{з}$.
$$E_{пот} = - G \frac {m M_{з}} {R} \ \ \ \ \ \ (1) $$Здесь $G$ - гравитационная постоянная, $R$ - расстояние от центра Земли до центра масс тела массы $m$. Обратим внимание на знак минус перед потенциальной энергией, он очень важен. Потенциальная энергия в поле тяжести всегда отрицательна*.
3 Соотношение между потенциальной и кинетической энергией
Получим теперь соотношение между кинетической и потенциальной энергией спутника, движущегося по круговой орбите радиуса $R$ вокруг Земли.
Центростремительное ускорение спутника вызывается силой тяжести, что позволяет нам записать второй закон Ньютона в следующем виде:
$$ {v^2} {R} = G \frac {m M_{з}} {R^2} \ \ \ \ \ \ (2) $$
Здесь $v$ - скорость движения спутника по орбите.
Разделив обе части предыдущего равентства на $m$ и умножив на $R$, получим выражение квадрата скорости через массу Земли и радиус траектории:
$$ v^2= G \frac {M_{з}} {R} \ \ \ \ \ \ (3) $$
Из этого выражения лекго получить кинетическую энергию спутника, умножив его на $m$ и разделив на 2:
$$ E_{кин} = m \frac {v^2} {2} = G \frac {m M_{з}} {2R} \ \ \ \ \ \ (4) $$
Сравнивая это выражение с выражением для потенциальной энергии спутника, получаем:
$$ E_{кин} = - \frac {1} {2} E_{пот} $$
4 Полная энергия
Полная энергия есть сумма потенциальной и инетической энергий. Используя полученные выше выражения, с учетом соотношения между ними получаем:
$$ E_{полная} = E_{кин} + E_{пот}= - \frac {1} {2} E_{пот} + E_{пот} = \frac {1} {2} E_{пот} = - G \frac {m M_{з}} {2R} \ \ \ \ \ \ (5) $$
Или, выражая полную энергию через кинетическую:
$$ E_{полная} = - E_{кин} = - G \frac {m M_{з}} {2R} \ \ \ \ \ \ (6) $$
Из этих формул мы видим, что полная энергия, как и потенциальная*, всегда отрицательна.
5 Решения задач из 1
5.1 Ответ на вопрос 5603.
Поскольку, как мы видим из (1), потенциальная энергия всегда отрицательна, на больших расстояниях она достигает максимального значения - минимального по модулю, но максимального с учетом ее отрицательности. При этом полная энергия сохраняется, значит, кинетическая энергия минимальна в точке максимального удаления от Земли. То есть, ответ 3
5.2 В аналогичной задаче 5498 условие сформулировано так же, а вопросы звучат следующим образом:
1) Кинетическая энергия достигает минимального значения в точке минимального удаления от Земли, полная механическая энергия спутника неизменна.
2) Кинетическая энергия достигает минимального значения в точке максимального удаления от Земли, полная механическая энергия спутника неизменна.
3) Кинетическая и полная механическая энергия спутника достигают минимальных значений в точке минимального удаления от Земли.
4) Кинетическая и полная механическая энергия спутника достигают минимальных значений в точке максимального удаления от Земли.
Рассуждения те же, правильный ответ 2
5.3 Ответ на вопрос 4081
Выражение (5) показывает, что полная энергия спутника всегда отрицательна, то есть правильный ответ - 2
*Формула (1) получается в случае выбора начала отсчета потенциальной энергии на бесконечности. Действительно, именно на бесконечности потенциальная энергия равна нулю.