Планиметрия С4

1

За­да­ние 16 № 505176. На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 24, а один из его углов равен 45°.

 

Аналоги к заданию № 505176: 511398

За­да­ние 16 № 505155. На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

 

2

За­да­ние 16 № 505239. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на от­рез­ке BC, а вер­ши­на E —  на от­рез­ке AB.

а) До­ка­жи­те, что FH = 2DH.

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB = 4.

 

Аналоги к заданию № 505239: 511400

 
Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.
 
3

Окруж­ность, по­стро­ен­ная на ме­ди­а­не BM рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние BC в точке K.

а) До­ка­жи­те, что от­ре­зок BK боль­ше от­рез­ка CK.

б) Пусть ука­зан­ная окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке N. Най­ди­те AB, если BK = 18 и BN = 17.

 
За­да­ние 16 № 509823
 

Аналоги к заданию № 509823: 511600

 
Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

Пря­мые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 4. Пря­мая, со­дер­жа­щая ги­по­те­ну­зу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

а) До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка внут­рен­ней ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окруж­но­стей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСВ.

 
За­да­ние 16 № 505568
 

Аналоги к заданию № 505568: 511412

Основные формулы о вписанной и вневписанной окружности

Внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух дру­гих его сто­рон. Ра­ди­у­сы двух внев­пи­сан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 7 и 17. Най­ди­те рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми.

 
За­да­ние 16 № 500964
 

Аналоги к заданию № 500964: 511349


Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что DB : DC = 1 : 3. Най­ди­те угол A.

 
За­да­ние 16 № 500410
 

Аналоги к заданию № 500410: 502025 502056 503323 503363 511343


В пря­мо­уголь­ной траеп­ции ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Одна из них ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон и боль­ше­го ос­но­ва­ния AD, вто­рая — бо­ко­вых сто­рон, мень­ше­го ос­но­ва­ния BC и пер­вой окруж­но­сти.

а) Пря­мая, про­хо­дя­щая через цен­тры окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­неи AD в точке P. До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 3 и 1.

 
За­да­ние 16 № 514373
 
 
Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
 
24

Диа­го­на­ли AC и BD четырёхуголь­ни­ка ABCD, впи­сан­но­го в окруж­ность, пе­ре­се­ка­ет­ся в точке P, причём BC = CD.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка COD, где O — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что BD — диа­метр опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка ABCD окруж­но­сти, AB = 6, а

 
За­да­ние 16 № 514374
 
 
Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 810. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше дру­го­го.

За­да­ние 16 № 486002
 

Аналоги к заданию № 486002: 507369 511422 507358

 
Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.03.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)

 


Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В, пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная диа­го­на­ли АС и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АD в точке M, рав­но­уда­лен­ной от вер­шин В и D

а) До­ка­жи­те, что ∠ABM = ∠DBC = ∠MBD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О, точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, до от­рез­ка СМ, если BC = 42.

 
За­да­ние 16 № 513915
 
 
Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
 
51

Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В, пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная диа­го­на­ли АС и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АD в точке M, рав­но­уда­лен­ной от вер­шин В и D

а) До­ка­жи­те, что BM и ВD делят угол В на три рав­ных угла.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до пря­мой СМ, если

 
За­да­ние 16 № 513922
 
 
Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
Показать решение

Формула длины медианы

 

Ме­ди­а­ны АА1 и ВВ1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Точки А2, В2 и С2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и МС со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.

 
За­да­ние 16 № 507204
 

Аналоги к заданию № 507204: 511416


Ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

 
За­да­ние 16 № 507510
 

Аналоги к заданию № 507510: 511440

 
Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10301 (Часть С).

Ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что AC = 3MB.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если из­вест­но, что AC = 12.

За­да­ние 16 № 508974
 
 
Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

Ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что AC = 3MB.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если из­вест­но, что AC = 10.

 
За­да­ние 16 № 509003
 
 
Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.

Теорема о сумме противопложных углов вписанного четырехугольника, теорема синусов

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH . Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а) До­ка­жи­те, что точки A, B, K и E лежат на одной окруж­но­сти.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если AB = 24, CH = 7.

 
За­да­ние 16 № 504567
 
 
Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10506.
 

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH . Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а) До­ка­жи­те, что точки A, B, K и E лежат на одной окруж­но­сти.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если AB = 12, CH = 5.

 
За­да­ние 16 № 504546
 

Аналоги к заданию № 504546: 511390

 
Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505

Теорема об угле между касательной и хордой

Сто­ро­ны KN и LM тра­пе­ции KLMN па­рал­лель­ны, пря­мые LM и MN — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLN.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN по­доб­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если из­вест­но, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.

 
За­да­ние 16 № 513430
 

Аналоги к заданию № 513430: 513449 514189 513627