Метод размерностей как способ вспомнить формулу физики II

 В первой части статьи мы кратко обсудили размерности физических величин с практической точки зрения. Теперь покажем, как метод размерностей позволяет вспомнить физические формулы, когда кажется, что вы их забыли. Особенно это актуально на экзамене, в том числе ЕГЭ или ОГЭ по физике.

 Конечно, формулы надо знать, стараться выучить и знать все нужные, но на экзамене случается всякое. В стрессовой обстановке возможные разные казусы, в том числе забывание формул, забыванию не подлежащих.

 Метод размерности позволяет из набора физических величин сконструировать формулу с точность до коэффициента. Фактически, это ваш план В на случай забывания формулы физики, которая вам нужна в данный момент.

1 Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

 Опыт показывает, что движение по окружности представляет гораздо большую сложность для сдающих ЕГЭ по физике, чем прямолинейное движение. Одной из причин может являться то, что движению по окружности уделяется существенно меньше времени, и решается меньше задач по этой теме.

Допустим, мы забыли связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Также допустим, что мы вообще забыли, что такое угловая скорость.

1.1 Вспоминаем угловую скорость и период

Все, что нам нужно сообразить, или, в идеале, помнить – это связь обычной скорости и пройденного пути:

$$S(t)=vt$$

По аналогии с этой давно известной нам формулой мы имеем:

$$\phi(t) = \omega t$$

То есть, угол поворота тела за время $t$  есть произведение угловой скорости и времени. После этого нам надо выяснить размерность угловой скорости. Угол безразмерен, хотя и имеет единицу измерения радиан, или градус. Поэтому размерность угловой скорости – не $\frac м c $, как в случае линейной скорости, а $\frac 1 c $, или $c^{-1} $

$$[ \omega ] = \frac 1 c $$

После того, как мы выяснили размерность угловой скорости, вся мощь метода размерностей – к нашим услугам.

Давайте еще вспомним выражения для периода. Период движения по окружности естественно определить, как время полного оборота. Если мы знаем линейную скорость, то за период тело с такой линейной скоростью пройдет расстояние, равное длине окружности:

$$vT =2 \pi R$$,

где $R$ - радиус окружности, $T$-период.  Отсюда получаем  выражение для периода через линейную скорость:

$$T= \frac {2 \pi R } v$$

Аналогичные рассуждения приведут нас к выражению для периода через угловую скорость. В этом случае мы определим период как время, за которое тело совершает полный оборот по углу, то есть угол поворота за период равен $2 \pi$:

$$\omega T = 2 \pi $$

Откуда

$$T = \frac {2 \pi } \omega $$

Сравнивая выражения для периода через угловую и линейную скорости, получим связь между угловой и линейной скоростями:

$$ \omega = \frac v R, \ \ v= \omega R $$

1.2 Метод размерностей как средство получения нужных формул

Получим предыдущее соотношение с помощью метода размерностей. Все, что нам нужно – помнить размерности угловой и линейной скорости

$$[ \omega ] = \frac 1 c, \ \ \ [v] = \frac м c $$

Мы видим, что разница в том, что в числителе размерности линейной скорости стоит не единица, как у угловой, а метры. Значит, чтобы получить линейную скорость, мы должны умножить угловую на расстояние. В нашей задаче есть единственный параметр с размерностью расстояния – радус окружности. Отсюда получаем

$$v= \omega R$$

  Допустим, мы забыли формулу для центростремительного ускорения, что случается довольно часто. Метод размерностей легко поможет ее вспомнить. Все, что нужно – помнить размерность ускорения $[a] = \frac м {с^2} $. Из трех доступных нам величин $[ \omega ] = \frac 1 c$, $ [v] = \frac м c $ и $[R] = м$ мы легко подберем нужные сочетания:

$$ a_{ц}= {\omega}^2 R$$

или

$$ a_{ц}= \frac {v^2} R $$

 

2 Пример из электродинамики

Пользуясь методом размерностей, вспомним связь напряжения на конденсаторе, заряда на нем и его емкости. Я воспользуюсь формулой, которую сдающие ЕГЭ по физике школьники обычно хорошо помнят. Это потенциал точечного заряда

$$\phi = k \frac q r $$

Единственное, что остается сообразить для применения метода размерностей – то, что емкость шара пропорциональна его радиусу. Действительно, мы сможем поместить на шар тем больше избыточного заряда, чем больше его радиус.

 После этого мы понимаем, что связь для напряжения на конденсатор, заряда на нем и его емкости совпадает с формулой для потенциала точечного заряда:

$$U = \frac Q C $$

где $U$ - напряжение на конденсаторе, $Q$ - его заряд и $C$ - его емкость. Единственное, что надо помнить – что константа $k$ уходит из этой формулы.

3 Рекомендации и выводы

Примеры использования метода размерностей можно продолжать бесконечно. Общий смысл ясен из вышеизложенного.

 Конечно, изучая формулы физики, не стоит основывать это изучение на методе размерности. Однако учет размерности величин имеет смысл иметь в виду и использовать в описанном выше практическом смысле, считая метод размерностей вспомогательным способом вспомнить нужные формулы, когда кажется, что они безнадежно забыты.