Математика и критическое мышление: пример

 Как я не раз подчеркивал, математика – отличный тренажер критического мышления. Возможно, даже можно сказать, что математика – само критическое мышление.

 Решая любую задачу, желательно контролировать себя, и иногда, к сожалению, составителя задачи.

 Метод размерности весьма хорош в некоторых случаях. На этом сайте в разделе Физика можно найти статьи о применении метода размерностей в физике. Но его абсолютизация может привести к плачевным результатам. Далее цитирую журнал Квант:


Из записной книжки учителя. А.РЫБАКОВ, Квант №5-6, с 18-22,  2014

На эту удивительную задачу я наткнулся в книге известного американского популяризатора математики Мартина Гарднера. Вот ее условие:

В шаре через центр просверлен канал длиной L. Каков объем оставшейся части шара?

Задача представляется чисто геометрической и весьма непростой. Возникают даже мысли о сложных интегралах, а также о том, что ситуация не полностью определена - ведь радиус шара не дан.

Оставим геометрический подход и попробуем зайти с другой стороны. Будем исходить из соображений размерности. Искомый объем $V$ должен выражаться только через $L$, ведь больше ничего не дано. Сразу ясно, что невозможна никакая другая зависимость объема от линейного размера, кроме как

$$V = C L^3 ,$$

где $С$ - какая-то безразмерная константа. Найти ее не трудно, надо только подобрать какой-нибудь подходящий частный случай.

В этой задаче можно придумать всего два частных случая. Прежде всего посмотрим, что мы будем иметь при увеличении радиуса канала до радиуса шара. При этом длина канала $L$ стремится к $0$, и формула дает $V =0$ (как и должно быть) при любом значении $C$. Так что определить $C$ таким образом нам не удалось. Теперь будем мысленно устремлять радиус канала к $0$, при этом длина канала $L$ будет стремиться к диаметру шара, а объем оставшейся части шара - к объему всего шара. Значит, в этом пределе наша формула должна давать нам объем шара диаметром $L$. Таким образом, получаем

$V=\frac {\pi} {6} L^3$

Казалось бы, это чисто математическая задача, но решена она физическими методами: с использованием соображений размерности и анализом частного случая! Заметим, что ситуация действительно не полностью определена, но для нахождения искомого объема это обстоятельство оказывается несущественным.

Однако, задача очень интересна и в другом отношении. Она показывает нам разницу между «настоящими» исследовательскими и учебными «тренировочными» задачами. Исследователь заранее не знает, от каких параметров может зависеть ответ возникшей перед ним задачи. Автор же задачи, помещенной в задачнике, гарантирует нам, что она решается, что ответ будет зависеть только от параметров, данных в условии.

Именно эта ситуация имеет место с рассмотренной здесь задачей. Мы уверены в полученном нами результате только в той степени, в какой мы верим утверждению автора задачи, что ни от каких других параметров ответ не зависит.


Комментируя два последних абзаца, я бы сказал, что в нестандартных задачах имеет смыл не полагаться на веру во что бы то ни было, а пытаться применить научный подход. В данном случае – просто проверить результаты.


 Интересный вопрос, как это можно сделать, не решая задачи?  Я вижу два пути:


1 решение аналогичной, но упрощенной, задачи


2 Критический анализ предельных случаев.


 Возможно, вы увидите и другие пути малозатратной проверки предложенного решения.


1 Аналогичная задача


 Попробуем сделать то же самое на плоскости, заменяя объем на площадь. Через центр круга сделана прорезь с длиной стороны $L$, которая одновременно является хордой окружности, являющейся границей круга. Какова остающаяся площадь?


 Такая задача легко решается, оставляю ее вам в качестве упражнения. Если $R$- радиус круга, то площадь остающейся части равна
$$S=2R \Biggl( \arcsin{ \frac {L} {2R}} - \frac {L} {2} \sqrt{1-(\frac {L} {2R})^2} \Biggr) $$
Это выражение, как и положено, стремится к $\pi R^2$ при стремлении $L$ к $2R$.
 Однако при проведении аналогичных трехмерному случаю рассуждений для остающейся площади мы получим выражение
$$ S= \frac {\pi} {4} L^2$$.
 В пределе они, конечно, совпадают, но при любых  $L$, отличных от $2R$, ответ неверен.


2 Другие предельные случаи


Зафиксируем $L$. Возьмем два шара различных радиусов – $\frac L2$  и много больше  $L$. У первого шара с высверленным каналом остающийся объем будет практически равен объему шара, в то время как объем остающейся части второго шара будет очень маленьким. Очевидно, что результат зависит не только от $L$, но и от радиуса шара.


 Полученное решение надо проверять всегда, а в наше время – тем более.