Арифметические вычисления в ЕГЭ по математике

Мой долгий опыт преподавания математики показывает, что арифметические вычисления школьники, как правило, проводят нерационально.

 Конечно, говоря о стиле вычислений, мы вступаем в дискуссионную область. Личный стиль вычислений двух разных людей может и должен отличаться. Несмотря на это, можно дать универсальные советы и предложить общие принципы проведения таких вычислений, которые экономят от 20% до 30% времени на простых задачах ЕГЭ по математике.

1 Принципы вычислений


1.1    Раскладывайте на множители вместо умножения и деления в столбик.
1.2    Сокращайте и выносите за скобки, где возможно.
1.3    Оставляйте числа в виде произведений в промежуточных вычислениях.
1.4    Предпочитайте простые дроби десятичным

2 Примеры

 Все примеры ниже взяты из тренировочного варианта ЕГЭ по математике с портала Решу ЕГЭ. Я не буду приводить полных условий задач и решений, они просты и ничем не примечательны. Я приведу отдельные вычисления в качестве примеров к утверждениям пункта 1

2.1 Решение квадратного уравнения (из задачи 12 о поиске минимума и максимума функции)

 Я всегда стараюсь угадывать решение по теореме Виета. В данном случае я решал этот вариант поздно вечером и не увидел ответа. Поэтому мне пришлось потратить дополнительное время на прямое решение квадратного уравнения.


$$x^2-12x+20=0$$
$$x_{1,2} = \frac {12 \pm \sqrt{12^2- 4 \cdot 20}} 2 $$
$$x_{1,2} = \frac {12 \pm \sqrt{12^2-4 \cdot 20}} 2 = \frac {12 \pm \sqrt{ 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 -4 \cdot 4 \cdot 5}} 2 =$$$$=\frac {12 \pm 4 \sqrt{ 3 \cdot 3 -5}} 2 =\frac {12 \pm 4 \sqrt{ 9 -5}} 2 =\frac {2 \cdot 6 \pm 2 \cdot 4 } 2 = 6 \pm 4 =(2;10 )$$

 

2.2 Решение иррационального уравнения (из задачи 10)


$$\sqrt{\frac {6400 h} {500}} = 4,8$$
$$ \frac {64 h} 5 = 4,8^2 $$

Превращаем десятичные дроби в обыкновенные и раскладываем на множители

$$  \frac {64 h} 5 = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8} {10  \cdot  10} $$

Дальнейшее разложение на множители

$$ \frac {8 \cdot 8 \cdot h} 5  = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8} {10  \cdot  10} $$

Перенос в другую часть уравнения и окончательное разложение на множители

$$ h  = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5} { 8 \cdot 8 \cdot 10  \cdot  10} $$

$$ h  = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5} { 8 \cdot 8 \cdot 2  \cdot 5   \cdot  2 \cdot 5} $$

Сокращаем множители 

$$ h  = \frac {6  \cdot 6 } {  2  \cdot  2 \cdot 5} $$

Снова раскладываем на множители

$$ h  = \frac {2   \cdot 3 \cdot 2  \cdot 3 } {  2  \cdot  2 \cdot 5} $$

и оконччательно сокращаем

$$ h  = \frac {3  \cdot 3 } { 5} $$

Ключ к эффективным вычислениям в дальнейшем состоит в том, чтобы оставить выражение для $h$  в таком виде, как получено выше. Даже перемножение двух троек в числителе является лишним, но это уже дело вкуса. А вот превращать это в десятичную дробь точно не стоит.

3 Проблема ненаписанной строчки

У кого-то при чтении предыдущего пункта возникнет отторжение, и даже раздражение. Зачем так подробно? Зачем столько строчек, когда некоторые из них можно объединить в одну?

Ответ простой и очевидный, на самом деле: чтобы избежать технических ошибок.

Я не раз и не два убеждался в том, что технические ошибки порождаются одной ненаписанной строчкой. Например, вы раскрываете скобки со сменой знака и одновременно переносите один или несколько членов в другую часть уравнения. Такая ситуация может привести к ошибке. В этой ситуации лучше написать две строчки, посвятив каждую только одному действию. Можно это сформулировать по-другому:

одно действие - одна строчка.

 При таком стиле вычислений мы больше пишем, но меньше делаем "в уме", и, соответственно, тратим меньше сил.

 Обратите внимание на стиль ваших вычислений и найдите оптимальный именно для себя. Имеено оптимальный стиль дает минимально возможное количество технических ошибок при арифметических вычислениях.

 

4 Заключение

 Хочу еще раз подчеркнуть, что цель данной статьи не в том, чтобы навязать вам мой стиль арифметических вычислений. Она, скорее, в том, чтобы побудить вас найти собственный, наиболее эффективный именно для вас стиль. Одновременнно наиболее эффективный стиль вычислений будет давать минимальное количество ошибок за приемлемое время.