Арифметические вычисления в ЕГЭ по математике
Мой долгий опыт преподавания математики показывает, что арифметические вычисления школьники, как правило, проводят нерационально.
Конечно, говоря о стиле вычислений, мы вступаем в дискуссионную область. Личный стиль вычислений двух разных людей может и должен отличаться. Несмотря на это, можно дать универсальные советы и предложить общие принципы проведения таких вычислений, которые экономят от 20% до 30% времени на простых задачах ЕГЭ по математике.
1 Принципы вычислений
1.1 Раскладывайте на множители вместо умножения и деления в столбик.
1.2 Сокращайте и выносите за скобки, где возможно.
1.3 Оставляйте числа в виде произведений в промежуточных вычислениях.
1.4 Предпочитайте простые дроби десятичным
2 Примеры
Все примеры ниже взяты из тренировочного варианта ЕГЭ по математике с портала Решу ЕГЭ. Я не буду приводить полных условий задач и решений, они просты и ничем не примечательны. Я приведу отдельные вычисления в качестве примеров к утверждениям пункта 1
2.1 Решение квадратного уравнения (из задачи 12 о поиске минимума и максимума функции)
Я всегда стараюсь угадывать решение по теореме Виета. В данном случае я решал этот вариант поздно вечером и не увидел ответа. Поэтому мне пришлось потратить дополнительное время на прямое решение квадратного уравнения.
$$x^2-12x+20=0$$
$$x_{1,2} = \frac {12 \pm \sqrt{12^2- 4 \cdot 20}} 2 $$
$$x_{1,2} = \frac {12 \pm \sqrt{12^2-4 \cdot 20}} 2 = \frac {12 \pm \sqrt{ 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 -4 \cdot 4 \cdot 5}} 2 =$$$$=\frac {12 \pm 4 \sqrt{ 3 \cdot 3 -5}} 2 =\frac {12 \pm 4 \sqrt{ 9 -5}} 2 =\frac {2 \cdot 6 \pm 2 \cdot 4 } 2 = 6 \pm 4 =(2;10 )$$
2.2 Решение иррационального уравнения (из задачи 10)
$$\sqrt{\frac {6400 h} {500}} = 4,8$$
$$ \frac {64 h} 5 = 4,8^2 $$
Превращаем десятичные дроби в обыкновенные и раскладываем на множители
$$ \frac {64 h} 5 = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8} {10 \cdot 10} $$
Дальнейшее разложение на множители
$$ \frac {8 \cdot 8 \cdot h} 5 = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8} {10 \cdot 10} $$
Перенос в другую часть уравнения и окончательное разложение на множители
$$ h = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5} { 8 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 10} $$
$$ h = \frac {6 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5} { 8 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5} $$
Сокращаем множители
$$ h = \frac {6 \cdot 6 } { 2 \cdot 2 \cdot 5} $$
Снова раскладываем на множители
$$ h = \frac {2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 } { 2 \cdot 2 \cdot 5} $$
и оконччательно сокращаем
$$ h = \frac {3 \cdot 3 } { 5} $$
Ключ к эффективным вычислениям в дальнейшем состоит в том, чтобы оставить выражение для $h$ в таком виде, как получено выше. Даже перемножение двух троек в числителе является лишним, но это уже дело вкуса. А вот превращать это в десятичную дробь точно не стоит.
3 Проблема ненаписанной строчки
У кого-то при чтении предыдущего пункта возникнет отторжение, и даже раздражение. Зачем так подробно? Зачем столько строчек, когда некоторые из них можно объединить в одну?
Ответ простой и очевидный, на самом деле: чтобы избежать технических ошибок.
Я не раз и не два убеждался в том, что технические ошибки порождаются одной ненаписанной строчкой. Например, вы раскрываете скобки со сменой знака и одновременно переносите один или несколько членов в другую часть уравнения. Такая ситуация может привести к ошибке. В этой ситуации лучше написать две строчки, посвятив каждую только одному действию. Можно это сформулировать по-другому:
одно действие - одна строчка.
При таком стиле вычислений мы больше пишем, но меньше делаем "в уме", и, соответственно, тратим меньше сил.
Обратите внимание на стиль ваших вычислений и найдите оптимальный именно для себя. Имеено оптимальный стиль дает минимально возможное количество технических ошибок при арифметических вычислениях.
4 Заключение
Хочу еще раз подчеркнуть, что цель данной статьи не в том, чтобы навязать вам мой стиль арифметических вычислений. Она, скорее, в том, чтобы побудить вас найти собственный, наиболее эффективный именно для вас стиль. Одновременнно наиболее эффективный стиль вычислений будет давать минимальное количество ошибок за приемлемое время.